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A afinação da gaita galega: 
escala natural ou escala temperada?

Carlos Real, Jesús Vaamonde e Manuel Fernández

 
Índice
- Introdução
- Conceitos básicos sobre som e afinação
- Componentes do som
- Sons afinados e desafinados
- Escalas: formação e propriedades
- Escala temperada e entoação natural
- Escala das gaitas galegas actuais
- Conclusão: proposta de afinação em 
Espaco.jpg (632 bytes)entoação natural para gaita
- Bibliografia
- Apêndice: Hertz e Cents
- Tabelas

INTRODUÇÃO

Este trabalho é uma reflexão teórica sobre a forma de afinar a gaita. 
Mais exactamente, sobre que tipo de escala escolher para afinar o 
instrumento. Os músicos actuais estão habituados a utilizar a escala 
temperada para afinar os instrumentos, e os afinadores electrónicos, 
que muitos de nós usamos, ajudam-nos a conseguir esse tipo de 
afinação. No entanto, esta escala não é a única possibilidade de 
afinação existente.

A escala da gaita não é, de facto, completamente temperada.

A terceira nota da escala, (o Mi para as pessoas acostumadas a 
escrever em Dó, ou o Fá# para os de Ré), é mais grave do que 
mostra o afinador. Tem que ser assim, para que afine com o ronco 
porque se a colocamos no tom que nos exige o afinador, notamos em seguida que não afina com o ronco, nem com a gaita do companheiro quando tocamos em duo.
Ao longo deste artigo explicaremos porque é que isto ocorre e 
também porque é que os sons afinam uns com os outros. Partindo 
destas ideias, estudaremos como definir um tipo de escala que 
consiga a máxima afinação entre os instrumentos que a utilizem. 
Compararemos esta escala com a temperada e veremos quais são as suas vantagens e inconvenientes e as possibilidades de utilizá-la na gaita.

Para seguir os raciocínios que aquí são expostos, há que partir de 
conceitos de acústica musical e harmonía. Procurámos que este 
documento possa ser entendido pela maioria das pessoas interessadas na gaita, ainda que não tenha grandes conhecimentos dessas disciplinas, por isso as explicações partem do mais básico. Muitas questões explicam-se de forma simplificada, porque a extensão de um trabalho como este é limitada, e porque não é necessária uma explicação ampla, nem muito rigorosa, para entender a linha de raciocínio que se expõe neste trabalho. Na bibliografía, que se inclui no final do trabalho, indicam-se os livros que foram utilizados para prepará-lo e que se podem consultar para aprofundar o que 
expomos aqui.

CONCEITOS BÁSICOS SOBRE SOM E AFINAÇÃO

O som é uma vibração do ar que nos rodeia. O ar, como todos os 
gases, pode comprimir-se e expandir-se, quer dizer, ocupar mais ou 
menos espaço. Isto ocorre quando aplicamos uma força sobre ele, 
quando o submetemos a pressão, ou reduzimos a pressão a que está submetido. Um exemplo é o que ocorre com o ar encerrado dentro de uma seringa com a ponta fechada e o êmbolo na metade do seu comprimento. Se apertamos o êmbolo, fazemos com que o ar ocupe menos espaço. Cada vez faz falta mais força (mais pressão) para que o êmbolo continue a baixar. Se o puxamos, conseguimos o efeito contrário: o ar ocupa agora um espaço maior, expandiu-se, e 
portanto, está a baixa pressão.

Os objectos que produzem sons têm a capacidade de criar alterações de pressão no ar que os rodeia, geralmente porque se movem. 
Quando se toca a corda de uma guitarra, começa a mover-se de um 
lado para o outro, a vibrar. Este movimento tem o mesmo efeito que 
o do êmbolo da seringa: o ar vê-se alternadamente comprimido e 
expandido por causa do movimento da corda. O ar que está em 
redor da corda é livre, não está fechado como o da seringa. Nestas 
condições, as alterações de pressão podem mover-se dentro do 
espaço vizinho, como as ondas se movem na superficie de um tanque quando se atira uma pedra para a superfície da água. Estas alterações da pressão, estas vibrações do ar, é o que chamamos som. 
No ponteiro, a origem do som está na vibração das lâminas de madeira ou cana que formam a palheta, que são amplificadas no interior do ponteiro e, por último, saem para o exterior.

Estas alterações da pressão chegam até ao nosso ouvido e através de um mecanismo muito complexo, transformam-se em impulsos 
nervosos que o nosso cérebro interpreta como sons. Este é, muito 
resumido, o mecanismo de producção e recepção dos sons.

Figura 1: Reprodução num ecrã de computador onde se pode observar a forma de onda do som de uma gaita, a nota Ré de um ponteiro em Dó. Como é uma onda periódica, o padrão repete-se continuamente. Na imagem surgem 9 dessas repetições.

Actualmente, graças à electrónica, é mais fácil estudar os sons e 
também “vê-los”. Os microfones têm como função transformá-los em 
variações de voltagem eléctrica (são como ouvidos artificiais), e logo, 
podem manipular-se de muitas maneiras (por exemplo, convertê-los 
de novo em sons muito mais potentes, através de um 
amplificador e altifalantes). É bastante simples medir e ilustrar essas 
variações de voltagem no monitor de um computador que esteja 
equipado com um programa adequado. 

O que se vê na Figura 1 é um gráfico em que está representado o som de uma gaita tocando um Ré.
As subidas e descidas da linha representam as subidas e 
descidas da pressão que chega até ao microfone, a forma do som.
A onda de som da gaita parece bastante complicada, mas se 
tomarmos atenção, daremos conta de que é composta por um mesmo esquema que se vai repetindo continuamente.
Os picos e vales sucedem-se uns aos outros com regularidade, 
mantendo as mesmas posições entre si. A este tipo de ondas 
chamam-se periódicas, precisamente porque a sua forma se repete 
durante um certo período de tempo. Cada uma dessas repetições 
chama-se ciclo (ou vibração). Todos os instrumentos de vento 
produzem ondas deste tipo.

Figura 2: No gráfico (A) surge representada uma onda periódica de tipo sinusoidal, a mais simples de todas as que existem (compare-se com a da figura 1). No gráfico (B) mostra-se como a soma das ondas sinusoidais de frequências diferentes produz ondas de forma complexa. No caso representado, a frequência da onda do centro é o dobro da acima desta. A terceira é a onda resultante da soma das outras duas.

Na Figura 2. é representado outro tipo de onda periódica . É muito 
mais simples que a anterior, de facto, é a onda mais simples que se 
conhece. Chama-se onda sinusoidal e é a que geram muitos aparelhos electrónicos quando tocam e alguns pianos electrónicos de baixa qualidade ou antigos. Os diapasões (em forma de U de metal que se golpeiam com um maço pequeno) produzem um som deste tipo. 
Pode-se conseguir que uma palheta produza um som assim se se 
soprar só o necessário para que comece a soar.

Os físicos descobriram que os sons periódicos complexos como o da gaita, são compostos de muitas ondas simples que soam ao mesmo tempo e também descobriram a maneira de separar esses componentes uns dos outros. Na parte de baixo da Figura 2.b mostra-se como a soma das ondas sinusoidais diferentes tem como resultado uma onda com uma forma mais complicada. No caso dos sons musicais, soma-se um número grande de ondas e por aí podem ter formas de onda complexas como a da Figura 1. Esta propriedade dos sons complexos utiliza-se nos sintetizadores para produzir electrónicamente sons de diferentes instrumentos. Estes aparelhos têm um número mais ou menos grande de circuitos capazes de gerar ondas sinusoidais de diferentes tipos. Se se seleccionam as ondas sinusoidais adequadas e se fazem soar todas de uma vez, conseguem-se as imitações, por vezes muitos perfeitas, dos instrumentos acústicos.

COMPONENTES DO SOM: 
FREQUÊNCIA, TIMBRE E INTENSIDADE.


Seja o som simples ou complexo, a característica fundamental de uma onda periódica é a sua frequência. A frequência é a quantidade de vezes que se repete a forma da onda numa unidade de tempo, quer dizer, a quantidade de cicos por segundo. A unidade de medida da frequência é o Hertz (Hz) que é um ciclo por segundo. O padrão de afinação que usamos é um som de 440 Hz (na escala média do 
piano), em suma, 440 vibrações por segundo. O som da Figura 1 tem 
uma frequência de 580 Hz aproximadamente, e no ecrã do 
computador só se veêm nove das vibrações, o que quer dizer que o 
som que se vê no ecrã durou 9/580=0,016 segundos, 16 centésimas 
de segundo.
A frequência de um som indica-nos a sua altura, o grave ou agudo 
que é. Quanto mais alta é a sua frequência, mais agudo é o som. O 
ouvido humano pode captar sons que estão entre os 20 e os 20.000 
Hz, aproximadamente.

Outra característica importante de um som é o seu timbre. Na 
realidade, o facto de que os sons tenham timbres diferentes deve-se a que as formas das suas ondas são distintas. Por sua vez, a forma das 
ondas é diferente porque os sons simples que as compõem são 
também diferentes. Assim, dois sons podem ter perfeitamente a 
mesma quantidade de vibrações por segundo (a mesma frequência, a 
mesma nota), mas a forma de cada onda ser completamente distinta 
(timbres diferentes). O ouvido percebe as diferenças entre timbres, 
porque uma das coisas que faz durante o processo de audição é 
decompor os sons complexos nos sons simples que os constroem.
Uma última característica de um som é a sua intensidade, que é 
simplesmente a força com que soa. Quando ilustramos uma onda a 
intensidade é representada pela distância máxima entre os picos e os vales. 

Na Figura 2.b, por exemplo, a onda da parte inferior é mais 
intensa do que as outras duas, sobe e baixa mais. Isto ocorre porque 
é a soma das outras e, portanto, o som conjunto será mais forte que 
qualquer dos individuais.
Os sons dos instrumentos musicais em geral, e da gaita em particular, têm uma característica especial: as ondas simples que formam o seu som têm frequências que são múltiplos da frequência mais baixa de todas. No exemplo anterior, o Ré da gaita tem a frequência mais baixa a 580 Hz. A esta frequência chama-se fundamental, aliás, estão presentes sons de 1160 Hz (580 x2), 1740 Hz (580 x3), etc., todos com uma forma de onda sinusoidal. Diz-se que estes sons são harmónicos da fundamental. Também se lhes chama parciais. Nem todos estes harmónicos soam com a mesma intensidade. Geralmente quanto mais agudos são os harmónicos, menos força têm. 

A distribuição relativa da potência de cada harmónico também 
contribui para formar o timbre de cada instrumento. Um instrumento 
determinado não tem que produzir todos os harmónicos possiveis. O 
som do clarinete, por exemplo, só contem os harmónicos ímpares, ou seja, aqueles que têm a frequência igual à fundamental multiplicada por um número ímpar (3, 5, 7...). Isto deve-se ao facto do furo interno ter uma forma cilíndrica. Os instrumentos que têm forma 
cónica, como o ponteiro da gaita e os oboés, produzem toda a serie 
completa de harmónicos, pares e ímpares.

A partir de agora falaremos dos sons classificando-os pela sua 
frequência. Esta será a característica que mais nos interessa de cada som. 

SONS AFINADOS E DESAFINADOS

A maior parte das vezes em que ouvimos música produz-se mais do 
que um som simultaneamente. A estes conjuntos de sons simultâneos chama-se acordes, assim, as exposições que se seguem, referem-se a acordes.
Ao ouvir dois sons simultâneos podem ocorrer duas coisas: que o 
resultado seja agradável ou que seja desesperante (em muitos graus). 
Se é agradável, dizemos que ambos os sons afinam bem; e se não, 
que desafinam. Os gaiteiros, com instrumentos polifónicos, cujos sons mudam continuamente de frequência à medida que humedecem, estão permanentemente preocupados com a afinação. Também há que atender a que a nossa gaita afine com a do vizinho. Agora bem, a que se deve que dois sons afinem o não? 

A resposta é muito complexa e aquí só explicaremos as razões 
fundamentais.

Quando dois instrumentos dão a mesma nota é fácil entender porque 
soam bem afinados: a frequência das suas fundamentais é a mesma e o mesmo ocorre com cada harmónico. Todos os sons presentes 
encaixam entre sí, colaboram para produzir um som mais pleno. As 
ondas de pressão de todos esses harmónicos sobem e descem à vez, não há desajustes entre eles; neste caso dizemos que os instrumentos soam em uníssono.
Se os dois sons têm frequências muito parecidas, mas não iguais, as ondulações não ocorrem à mesma velocidade, uma vai um pouco 
mais lenta que a outra. 

Figura 3: Duas ondas de frequência muito parecida mas não idêntica (acima e no meio), cuja intensidade sobe e baixa periódicamente como consequência do desfasamento que se produz entre elas. Há momentos em que ambos os sons cooperam e o som resultante é potente e outros em conflito ao ponto de anular-se uma à outra. Como resultado, o volume sobe e desce com uma frequência própria que se chama frequência de batimento.

Na Figura 3 estão representadas duas ondas deste tipo e a onda que constitui a soma das duas. 
Se ao princípio a pressão subía e descia ao mesmo tempo, em 
seguida produz-se uma descoordenação entre as duas ondas e se 
chega à altura em que enquanto uma onda sobe, a outra desce,quer 
dizer, enquanto uma faz aumentar a pressão, a outra a faz diminuir. Ambas as ondas se anulam e a intensidade do som conjunto torna-se mínima. Pouco a pouco voltam a coincidir, e a intensidade do som vai aumentamdo. O processo repete-se uma e outra vez, periódicamente. 

É como se houvesse uma nova onda, de frequência muito menor do que as ondas reais, que fosse subindo e baixando o volume. Quando se produz este fenómeno,diz-se que ambos os sons produzem uma 
frequência de batimento. Quando comprovamos que dois ponteiros estão correctamente afinados (ou o ronco com o ponteiro), o que estamos a fazer é detectar se os dois sons produzem frequências de batimento, em cujo caso não estão bem afinados e há que corrigir a afinação de um deles para conseguir que as frequências sejam idênticas.
Todavia, há outras combinações de sons que também soam bem, 
apesar de não terem as mesmas frequências. Isso deve-se ao facto de que existe a possibilidade de que colaborem entre sí, reforçando-se quando soam juntos, ainda que, com menos perfeição que em uníssono. É claro que, não é válido qualquer par de sons; só aqueles cujas frequências guardam entre si relações muito definidas e simples podem fazê-lo. Algumas relações úteis são , por exemplo, 2:1, 3:2, 5:4. 

Vamos ver porquê:

Figura 4: Os sons que formam intervalos naturais mantêm relações próximas entre frequências. Como exemplo, em (A) representaram-se dois sons que formam um intervalo de oitava perfeita entre si. A sua relação de frequências é de 2:1, o que quer dizer que enquanto a nota grave produz oscilação, a nota aguda oscila duas vezes como se observa no desenho. O segundo exemplo, (B), corresponde a uma quinta perfeita. A relação entre frequências é de 3:2, o que quer dizer que enquanto a nota grave oscila duas vezes, a aguda o faz três vezes.

Para explicar melhor o que se segue, preparámos a Tabela 1 e a 
Figura 4. A primeira fila da Tabela corresponde aos harmónicos de 
um som de 100 Hz, que nos vai servir como a nota mais grave das 
duas que formam os intervalos que vamos estudar. Escolhemos este 
valor para que resultem números simples, se bem que poderíamos ter escolhido qualquer outro. Nas dez colunas seguintes é indicada a 
frequência dos harmónicos dessa frequência fundamental. Está 
incluido até ao décimo harmónico, com 1000 Hz de frequência. Nas 
restantes filas aparece na primeira coluna a frequência fundamental do segundo som e no resto, os seus harmónicos de frequências iguais ou menores de 1000 Hz. Aqueles harmónicos que coincidem com algum da nota base representam-se em Bold para destacá-los dos outros. 

Na primeira fila de dados da Tabela é representado o intervalo de 
uníssono, no qual a frequência de ambas as notas é a mesma, por isso na segunda coluna a relação de frequências é 1:1. Logicamente, todas as frequências dos parciais coincidem e por isso o uníssono é a consonância musical mais perfeita.
O segundo dos intervalos de interesse é o de oitava perfeita. Quando a 
frequência de um som é exactamente o dobro que a de outro dizemos que são a mesma nota, mas separada por uma oitava. Os harmónicos de um som formam sucessivas oitavas com a fundamental. O nosso som base de 100 Hz e outro de 200 Hz estão separados por uma oitava completa. A relação entre as frequências dos dois sons é 2:1; uma é o dobro da anterior (nesta forma de indicar a relação entre a frequência de duas notas, o primeiro número representará sempre o mais agudo dos dois). Este intervalo também soa muito bem, porque resulta que a fundamental do som agudo e o primeiro harmónico do som grave têm a mesma frequência (200 Hz). Aliás, o resto dos harmónicos do som agudo coincidem em frequência com alguns do grave, tal como se indica na Tabela 1.

A conjugação dos sons não é tão perfeita como no uníssono, porque 
agora não coincidem todos os harmónicos dos dois sons, só 
coincidem os harmónicos pares do som base (200, 300 Hz...). 
De qualquer modo, a sensação de afinação é muito boa, porque há 
muitas coincidências entre os harmónicos. A relação de frequência de 2:1 quer dizer que enquanto a frequência mais baixa oscila uma vez, a outra onda oscila duas vezes. Isto pode ver-se na Figura 4.a.

Outro intervalo que produz uma coincidência de frequências nos 
harmónicos é o que formam as notas cuja relação de frequências é 
3:2 (no nosso exemplo 150 e 100 Hz). Este intervalo conhecêmo-lo 
por quinta perfeita (é o que formam o Dó e o Sol num ponteiro de Dó, 
por exemplo). Na Tabela 1 pode ver-se que continuam a haver 
coincidências nas frequências de vários dos harmónicos, 
concretamente, coincidem os harmónicos pares da nota aguda (300, 
600 e 900 Hz). É importante que coincida o segundo harmónico, 
posto que à medida que os harmónicos se fazem mais altos, a sua 
força diminui rápidamente. No total existem três coincidências dentro 
do intervalo de frequências escolhido. Todas elas contribuem para dar 
uma sensação forte de boa afinação. A relação 3:2 também nos indica que enquanto a nota mais grave realiza dois ciclos, a mais aguda realiza três (Figura 4.b).

Na continuação aparecem dois intervalos para os quais se produz a 
coincidência de um de cada três harmónicos da nota aguda. São o de Quarta perfeita e o de Sexta Maior. Como há menos harmónicos 
coincidentes que no caso anterior, a sensação de afinação é algo 
menos forte que antes. Para mais, o primeiro harmónico que coincide 
é o terceiro (400 Hz o da Quarta perfeita e 500 Hz o da Sexta Maior) 
enquanto que no caso da Quinta perfeita, era o segundo.

Algo parecido ocorre com o intervalo de terceira maior; há duas 
coincidências, mas agora é o harmónico de 500 Hz o primeiro comum aos dois sons (5º harmónico da nota grave e 4º da aguda), pelo que, a sensação que o ouvido recebe se vai tornando cada vez mais débil.
A terceira menor e a segunda maior só têm um harmónico comum 
com a nota base: o quinto (600 Hz) e o oitavo (900 Hz), 
respectivamente. A sexta menor, finalmente, não tem nenhum 
harmónico comum com a nota base abaixo dos 1000 Hz.

Há que assinalar que todos estes intervalos são reconheciveis como 
intervalos afinados por qualquer pessoa, com uma mínima educação 
ou aptidão musical, independentemente da cultura musical em que 
viveu. Todos os sistemas musicais do mundo reconhecem o intervalo 
de oitava e forma parte das suas escalas. Esta afinação que se mostra aqui tem uma base física, não cultural, e por isso é reconhecida por qualquer músico como correcta.

ESCALAS, A SUA FORMAÇÃO E PROPRIEDADES

O que é uma escala? Acabámos de comentar que o intervalo de 
oitava é reconhecido por todos os músicos do mundo, mas só com 
oitavas não se pode fazer muita música. Cada cultura musical escolhe um certo número de frequências intermédias, entre as que marcam o intervalo de oitava, para utilizá-las nas suas melodias. A cada uma de elas se chama nota, e ao conjunto, escala. O nosso sistema musical baseia-se na utilização de doze notas (sete principais e mais cinco intercaladas) para definir o que se denomina a escala cromática. Ao espaço que fica entre duas dessas notas chamamos meio tom.

No entanto, a escala mais utilizada na música de gaita é a escala 
diatónica, onde todas as notas, excepto duas, estão separadas das 
contíguas por dois meios tons (ou seja, um tom). Sistemas como a 
música árabe, utilizam intervalos mais pequenos (de quarto de tom), 
noutros, pelo contrário, não se utilizam distâncias menores que o tom, e resultam escalas de cinco notas, chamadas escalas pentatónicas (próprias da música Andina, Chinesa ou de algumas melodias espalhadas pelos folclores europeus, por exemplo).

Agora, como se escolhem as frequências das notas que formam a 
escala? Depois de tudo o que foi dito no capítulo anterior, parece 
lógico pensar que sería muito útil construir uma escala cromática, na 
qual todas as notas formassem entre si intervalos como os descritos 
antes, (no restante do trabalho referir-nos-emos a ela como escala em entoação natural para distinguí-la de outras escalas que também 
falaremos). Esta escala tería várias propriedades interessantes.
Em primeiro lugar, os instrumentos que utilizem esta escala, poderíam formar acordes perfeitamente afinados. No caso da gaita, isto seria interessante, mesmo no caso de tocar sozinha, porque os acordes formar-se-iam entre o ponteiro e os roncos.

Em segundo lugar, na maioria dos casos, o som é reflectido nos 
objectos que nos rodeiam e ouvimo-lo várias vezes, durante um certo 
espaço de tempo, (os físicos chamam a este fenómeno reverberação 
ou, se o reflexo se produz sobre objectos longínquos, eco). Por este 
motivo ouvimos a nota que emite o músico num instante determinado, e uma ou várias notas emitidas imediatamente antes dessa. Também interessa que o efeito seja o mais afinado possivel. Quando ensaiamos numa sala com muito eco (e no nosso caso é o habitual), as gaitas soam pior, precisamente porque os sons estão mais “vivos” e ouvimos muitas notas simultaneamente. Algumas delas não formam entre si intervalos consonantes e, em conjunto, o som é mais agreste, mais desafinado do que resulta ser na realidade.

Seguidamente, vamos ver como se constrói uma escala cromática, 
utilizando intervalos naturais. Obviamente, não o faremos em 
abstracto,mas tendo em conta a música que constitui o repertório dos gaiteiros actualmente. Isto vai revelar uma série de problemas e, ao mesmo tempo, irá servir para compreender porque se criou a escala em entoação temperada e quais são as suas diferenças com a escala em entoação natural.

Para construir uma escala com estes intervalos, estabeleceremos uma nota base para calcular o resto das frequências. Utilizaremos a 
frequência pela que se afinam os ponteiros de Dó (523,25 Hz). Todas 
as notas que enumeraremos são notas reais (atenção aos que estão 
habituados a ler em Ré). As frequências calculam-se multiplicando a 
frequência de referência pelo valor que figura na coluna “Relação” da 
Tabela 1. Por exemplo, a frequência do Lá calcula-se como (523.25 
x 5)/4

Figura 5: No primeiro passo para a construção de uma escala de entoação natural escolhemos como nota base um Dó de frequência 523.25Hz, que é a frequência segundo a qual vêm ajustados os afinadores quando o padrão é 440Hz. O resto das frequências foram calculadas a partir das relações que se discutem no texto. Em (a) representam-se as frequências e os intervalos que formam as notas com a nota de referência.
Em (b) representam-se as relações que existem entre as notas. Todas elas são intervalos de entoação perfeita. A letra "m" junto de alguns intervalos indica que são menores. Os que não levam nenhuma indicação são maiores ou perfeitos.

O primeiro som será o que está à distância de oitava e que marca o 
limite superior desta escala. Na continuação colocaremos os sons que estão à distância de Quinta perfeita, Quarta perfeita, Sexta maior e Terceira maior, que são os intervalos que soam melhor. Ao mesmo tempo, os intervalos que se formam entre estas novas notas também 
correspondem à entoação natural, igual aos que se formam com a 
tónica (ver Figura 5). Temos cinco das sete notas necessárias para formar a escala diatónica.

Figura 6: segunda fase da construção da escala. O Si (a) coloca-se à distância de uma quinta do MI, ou de terceira maior do Sol. Ao mesmo tempo fixa-se o Si grave, formando oitava com o Si agudo. O Ré pode definir-se do duas maneiras: a distância de quarta perfeita com o Sol (b), o que dá lugar às relações entre notas que assinala o gráfico. Note-se que não há intervalo de terceira menor natural entre este Ré e o Fá. A segunda alternativa é definir o Ré à distância de quinta perfeita de Lá (c). Este novo Ré forma uma terceira menor com Fá mas não forma nenhum intervalo de interesse com o Si grave. Pode-se solucionar esse inconveniente definindo um Si grave de frequência mais baixa, no entanto, esta nova nota não forma oitava com o Si agudo.

Na Figura 6 mostram-se os passos que há a dar para fixar as dos que faltam. No gráfico (a), é esquematizada a fixação do Si. 
Pode colocar-se a distância de quinta perfeita do Mi e de terceira maior 
do Sol, com uma frequência de 981.09 Hz. Ambos são intervalos 
interessantes no momento de tocar, especialmente, o de terceira, posto que em muitas melodias é a distância que separa as duas vozes. Ao mesmo tempo fica fixa a frequência do Si grave, que está uma oitava abaixo, o que corresponde à nota mais grave do ponteiro em Dó.



A colocação do Ré é conflituosa. Há duas maneiras diferentes de 
escolher a sua frequência. Em primeiro lugar pode tomar-se como 
referência o Sol e colocar o Ré à distância de quarta perfeita (frequência 
de 588.65 Hz), como se vê na Figura 6.b. Esta nota mantêm relações 
de terceira e sexta maiores com os dois Si que definimos antes, mas 
não produz um intervalo de terceira menor natural com Fá, que seria 
interessante para tocar por terceiras. Uma segunda alternativa seria 
colocar o Ré à distância de terceira menor do Fá (frequência de 
581.39 Hz) com o que obteríamos, aliás, um intervalo de quinta maior 
com Lá (gráfico b). 

O problema agora é que o Ré não afina com os Si. Por outras palavras, não é possivel ter um intervalo natural simultaneamente entre Ré e Fá, e entre Si e Ré. Se um afina, desafina o outro. Tocando por terceiras, ambos os intervalos são importantes, uma possivel solução sería baixar a frequência do Si grave até fazê-lo formar uma terceira maior com Ré de frequência 581.39 Hz, tal como se mostra na figura inferior. O preço que haveria que pagar sería não ter uma oitava entre os dois Si da escala. No momento de tocar não sería um grande problema, porque um acorde semelhante é raro. Haveria que experimentar a possibilidade de baixar o Si agudo, utilizando uma digitação adequada no momento em que se necessite, em vez de construir um ponteiro afinado desta maneira. No Si grave não temos esta possibilidade. Em conclusão, as frequências mais interessantes para o Si e o Ré seríam 484.49 e 581.39 Hz, respectivamente.

Figura 7: Situação dos meios tons para construir uma escala cromática. No gráfico (a) situam-se Réb, Mib e Sib. Todos eles formam intervalos perfeitos com algumas das notas definidas anteriormente e a sua colocação não oferece problemas. No gráfico (b) esquematizam-se as alternativas para o Láb. A nota de 837.20Hz é a melhor, visto que os intervalos que estabelece com a outra nota (817.58Hz), não se utilizam na música de gaita. No gráfico (c) assinalam-se as frequências possíveis de Solb. Não é uma nota muito utilizada.

Seguindo a mesma técnica de procurar intervalos interessantes, 
podemos tentar calcular a frequência das notas que nos faltam para 
conseguir uma escala cromática completa. Na Figura 7 é 
esquematizado o processo. No gráfico (a) mostra-se a colocação de 
Réb, Mib e Sib. Nenhum deles apresenta problema, porque podem 
colocar-se à distância de terceira de alguma das notas básicas 
definidas no princípio.aliás aparecem algumas relações interessantes entre elas, como se vê na ilustração.
O Réb é uma nota que não se utiliza, só em certas ocasiões, mas as 
outras duas são de uso obrigatório em melodias e passagens em 
modo menor.

No gráfico b é esquematizada a definição do Láb. Também haveria 
duas possibilidades, mas a nota mais grave, (frequência de 817.58 
Hz) é descartável, porque os intervalos naturais que se obtêm nunca 
aparecem nas melodías. Os duos por terceiras correspondem aos 
intervalos que forma a outra opção (837.20 Hz), a preferida.
Por último, no gráfico c mostra-se a colocação do Solb. Esta nota 
emprega-se raramente. Pode colocar-se à distância de terceira menor de Lá, o que a colocaria também à distância de terceira maior de Ré (o Ré de 581.39 Hz).

Nas três primeiras colunas da Tabela 2 resumem-se características de todas as notas que acabámos de definir: a relação de frequências com a nota base, a sua frequência e a distância em cents (ver Apêndice) até à nota base. Na parte inferior dessa tabela também expõem as características das notas alternativas que considerámos menos interessantes. 
Este sistema de afinação serviría bem para tocar entre duas gaitas afinadas no mesmo tom, como é habitual nos grupos de gaiteiros mais comuns.

O sistema deixa de funcionar tão bem, quando pretendemos tocar 
instrumentos de várias tonalidades juntos, como uma gaita en Dó 
com outra em Sol, ou uma gaita com uma requinta. Haveria que 
escolher as notas mais graves que dão estes instrumentos para que 
formassem intervalo de oitava com as do ponteiro. Aparecem novos 
problemas de afinação, porque o Sol, (a tónica do ponteiro mais 
grave), não forma intervalos naturais com o Si e o Ré (do ponteiro em 
Dó) escolhidos pelos critérios expostos acima. Neste caso, são mais 
vantajosas as versões agudas dessas duas notas, mas, 
inevitávelmente, há que renunciar à terceira Si-Ré.

A ESCALA TEMPERADA E AS SUAS DIFERENÇAS 
COM A ENTOAÇÃO NATURAL


Neste capítulo discutiremos as diferenças entre a escala em entoação natural e a escala que mais se utiliza actualmente, a escala em entoação temperada. Também discutiremos as vantagens e problemas que têm cada uma delas. Para ajudar a ver os argumentos que vamos a expôr, preparámos a Figura 8.

Representámos as escalas sob a forma de escadas com os degraus separados entre si, igual às notas na escala, (referindo a sua distância em cents).

Figura 8: Estas escadas representam os dois tipos de escala que se comentam no texto. Cada degrau representa a situação de uma nota na escala. A distância que separa os degraus é proporcional à distância em Cents entre notas. À esquerda (a) representam-se duas escalas cromáticas em entoação natural, uma construída tomando como nota base o Dó e outra o Ré. Observe-se que a distância entre degraus (notas ), na escala natural não é sempre a mesma. Também se observa que que várias das notas equivalentes nas escalas não estão à mesma altura, é dizer, têm frequências diferentes. No gráfico (b), as escalas representadas são temperadas. Agora coincidem tanto as distâncias entre notas como as notas entre escalas construídas sobre notas distintas. Em (c) comparam-se as duas escalas para poder apreciar claramente as diferenças que há na ditribuição de notas.

No gráfico a) estão representadas duas escalas cromáticas em 
entoação natural. Há um degrau na escada por cada meio tom da 
escala. Como se aprecia imediatamente, as distâncias entre degraus 
são irregulares; a escada mais à esquerda representa uma escala 
construída sobre a nota Dó, como no apontamento anterior. A escala 
que está ao lado foi construída sobre a nota Ré, por isso o seu 
primeiro degrau coincide à mesma altura com o terceiro de Dó.

Comparando-as, aparece claramente um problema deste tipo de 
escala: os degraus equivalentes em ambas as escadas não coincidem à mesma altura en vários casos. Por exemplo, o terceiro degrau da 
escada da direita devería coincidir com o quinto degrau da esquerda e 
no entanto está colocado entre o quarto e o quinto. Traduzido por 
notas, isto quer dizer que o Mi da escala de Ré não seria o mesmo 
que o da escala de Dó. 

Há mais casos, ao comparar ambas as escadas. Este comportamento seria uma dificuldade enorme para construir um piano, por exemplo, que fosse capaz de tocar em todas as tonalidades, ou seja, em escalas construídas sobre diferentes notas. Necessitaríamos de mais de uma tecla para cada nota, para usá-la quando mais conviesse, segundo a tonalidade que empregássemos. Seria muito complicado construir um instrumento semelhante.

Este problema é o que levou à invenção da escala em entoação 
temperada.

A solução seria ter uma escala com todas as notas separadas pela 
mesma distância em cents . Nisto consiste a escala temperada. As 
escadas da Figura 8.b simbolizam duas escalas cromáticas 
temperadas, uma que começa em Dó e a outra em Ré. Os degraus da escala de Dó coincidem à mesma altura que os da escala de Ré. As notas têm idênticas frequências nas duas escalas. Ocorrería o mesmo, fosse qual fosse a nota em que começasse cada uma, as notas coincidiríam sempre. Como o piano utiliza uma escala temperada basta-lhe conter doze notas por oitava para poder interpretar melodías em qualquer tonalidade.

Na Figura 8.c compara-se uma escada “temperada” com uma escada “natural”, para que se vejam bem claras as diferenças. 
Aliás,a Tabela 2 recolhe os dados de frequência de ambos os tipos de escala. 
Também se recolhem os intervalos em cents entre o Do e o resto das 
notas. Os intervalos expressados em cents são independentes da 
frequência que se usou para calcular as notas da escala. 

No Apêndice explica-se a forma de cálculo para os cents e a sua origem. A última coluna da tabela serve para comparar ambas as escalas. Calculou-se a distância em cents desde cada nota da escala temperada até ao seu equivalente da escala de entoação natural.
A escala temperada tem vantagens, mas a um preço. Os intervalos 
que se formam nela estão desafinados. Quando soam os intervalos 
temperados, produzem-se frequências de batimento. O de oitava não, 
como é óbvio, mas em muitos outros, sim. A quinta e quartas em 
entoação temperada são quase idênticas à quinta em entoação natural (ver Tabela 2). O problema principal é que as terceiras temperadas estão bastante pior afinadas que as quintas, o qual é um 
inconveniente para os gaiteiros, que tocam muitíssimo por terceiras. 

Que a escala que utilizamos habitualmente seja uma escala desafinada, pode soar bastante estranho, mas é a realidade. É uma desafinação controlada e a que estamos tão acostumados pela nossa educação musical, que não estamos conscientes dela.

Há bastantes diferenças entre ambas as entoações. A nota que mais 
distância mantém é o Si grave, essa nota anómala que propusemos 
para melhorar a afinação. 

Ora bem; e as gaitas galegas que utilizamos hoje em dia, como estão afinadas?  


A ESCALA DAS GAITAS GALEGAS ACTUAIS

Para fazermos uma ideia de como é a afinação no meio das gaitas, 
realizámos uma medição das frequências de todas as notas de doze 
ponteiros de diferentes constructores e tonalidades. É preciso dizer 
que a realização de medidas deste tipo tem uma série de dificuldades. 
Gravámos o som dos ponteiros (tocando-os sem ronco) e logo, 
calculámos a frequência de cada fundamental, através de um 
programa de computador que nos permite decompor os sons nos 
harmónicos que os compõem.

Os resultados obtidos devem ser tomados como um simples “tactear” 
inicial, uma primeira prova para saber por onde anda a coisa, nada 
mais. Fizémo-la com os ponteiros que pudémos reunir entre nós os 
três. A afinação de cada ponteiro é insegura, alguns deles levavam 
algum tempo sem tocar e foram empalhetados para a prova, o que 
pode dar como resultado afinações alteradas. Tendo isto em conta, 
apresentámos os dados na Tabela 3 (só com o afã de ilustrar um 
pouco a discussão). 

Nela se indicam os intervalos em cents, desde a tónica do ponteiro, (como se todos os ponteiros fossem em Dó). 
Os dados da última coluna são a média dos resultados dos doze 
ponteiros. O uso do valor médio ajuda-nos a eliminar as variações 
individuais de cada ponteiro e obter um valor de afinação mais fiável. 
Nas colunas centrais estão representados os valores das afinações de referência. Como curiosidade, apenas o facto de que um dos ponteiros utilizados tem uma afinação que coincide em quase todas as suas notas com a entoação natural teórica.

A análise dos dados da experiência indica-nos o seguinte: As notas 
agudas, incluíndo o Dó agudo, parecem estar demasiado altas. Ao 
gravar sem ronco é muito possivel que se tenha aumentado a pressão do fole inconscientemente ao chegar a essa zona do ponteiro e as frequências resultantes sejam altas artificialmente. Se tiramos os 12 cents que sobram ao Dó agudo às três notas inferiores, ficamos com afinações muito similares às que marca a afinação temperada. O resto das notas também se aproximam mais da afinação temperada que da natural com duas excepções; o Mib parece estar alto, em média, ainda que haja uma variação muito grande entre ponteiros, (possivelmente este valor será algo fictício).

A segunda excepção, e a mais importante, é o Mi. Esta nota está 
claramente afinada segundo um intervalo natural. A média coincide 
exactamente com o valor teórico e nenhum dos ponteiros se aproxima do valor da entoação temperada.
Hoje em dia parece clara a influência da escala temperada na 
construção dos nossos instrumentos. Resultaria interessante 
estabelecer como seriam as escalas dos gaiteiros que não dispunham da ajuda dos afinadores electrónicos, e se guiavam pelo ronco, o melhor afinador de que dispunham. É um estudo que quiçá, faremos brevemente.

Mas no caso das gaitas, utilizar a escala temperada tal e qual, tem 
problemas mais graves que os habituais, no caso de outros 
instrumentos, como o piano ou o clarinete. As gaitas têm os bordões, que produzem continuamente a tónica do ponteiro. O normal será que se produzam frequências de batimento se as notas do ponteiro não estão afinadas segundo a entoação temperada. O problema agudiza-se porque o som do ronco está duas oitavas abaixo do ponteiro. A frequência de batimento entre notas tão distantes entre si é mais exagerada do que se ambas as notas pertencessem à mesma oitava.

Muitas das pausas das melodias realizam-se sobre as três notas que 
compõem o acorde maior da tónica, ou seja, o primeiro, terceiro e 
quinto graus da escala. Por este motivo a maioria das notas longas 
das melodías são alguma destas três. Com a quinta e a quarta não há problema, uma vez que quase coincidem em escalas naturais e 
temperadas. A terceira maior temperada provocará desafinação com 
os roncos nessas situações e, por serem longas estas notas, notar-se-á muito. O efeito é menos evidente nas outras notas que acontece serem notas mais curtas, por ser de passagem. Por isso, numa gaita, o terceiro grau da escala tem que afinar-se segundo a entoação natural e não temperada, senão, a desafinação será bastante escandalosa. 

Pode comprovar-se tudo isto de uma forma muito simples: com o uso de fita adesiva pode levar-se o Mi de um ponteiro de Dó (ou a nota equivalente em qualquer outro ponteiro) até a afinação que exige o afinador (afinação temperada). Quando convertemos a afinação em temperada poderemos comprovar como o nosso novo Mi desafina com o ronco.


CONCLUSÃO: UMA PROPOSTA DE AFINAÇÃO EM 
ENTOAÇÃO NATURAL PARA A GAITA


A escala em entoação natural que propomos neste trabalho seria 
perfeitamente aplicável à gaita. Representaria conseguir uma afinação 
mais pura, mais doce. Estender os beneficios que obtemos para o 
terceiro grau da escala aos demais. Pagar-se-ia o preço de que uma 
escala deste tipo não é tão versátil tonalmente, como a escala 
temperada, mas este seria um preço barato. Os gaiteiros tradicionais 
não tocam mais que numa tonalidade nos seus modos maior e menor. 
Algumas melodias estão em modo maior com o sétimo grau alterado 
descendentemente. Qualquer destas variações pode realizar-se em 
entoação natural. Afortunadamente, os gaiteiros não têm que tocar 
melodias em Fá# menor com um ponteiro em Do, nem coisas do 
estilo, pelo que a perda da capacidade que têm os instrumentos 
temperados de passar de umas tonalidades a outras, a nós não nos 
afecta muito.

Lógicamente, qualquer pessoa que leia estas linhas perguntará se 
valerá a pena abandonar uma escala como esta, tendo em conta 
que, actualmente, as gaitas soam bastante bem, tal como estão. A 
única resposta válida, sería a de que cada um obtivesse 
experimentando utilizar esta escala e, uma vez acostumado o ouvido a ela, ver se somos capazes de voltar a utilizar a escala velha com tanto gosto como antes. Quando éramos novatos, não nos preocupava 
demasiado que o ronco estivesse desafinado, mas hoje em dia não 
somos capazes de tocar assim. Isto não é mais que um problema de 
educação do ouvido, nem mais nem menos, e o da utilização de uma 
ou outra entoação, também o é.

A questão principal é que expusemos a teoria e os princípios sobre os quais se baseia a construcção de escalas e demos resposta à questão que nos fez começar este trabalho. Esperamos que isto sirva para aumentar o conhecimento das particularidades do nosso instrumento e ajude a cada um a tomar decisões bem fundadas acerca da afinação mais conveniente para si. Há gente que não poderá escapar da afinação temperada, visto que tem que tocar com outros instrumentos, mas os gaiteiros que vão tocar em parelhas (ou em bandas) terão a liberdade de procurar essa afinação, se a considerarem mais interessante.


BIBLIOGRAFIA

Benade, A. H. (1990). Fundamentals of musical acoustics. 2ª edição. 
Dover Publications, Inc. New York.
Helmholtz; H. L. (1885). On the sensations of tone as a physiological 
basis for the theory of music.
Segunda edição inglesa, traduzida do 
alemão e comentada por A. J. Elhis. Edição facsímile, 1954. Dover 
Publications, Inc. New York. 
Fletcher, N. H.; Rossing, T. D. (1991). The physics of musical 
instruments.
Springer Verlag New York, Inc. New York.
Piles Estellés, J. (1982). Intervalos y gamas. Temas de musicología. 
Instituto Valenciano de Musicología Alfonso el Magnánimo. Ed. Piles. 
Valencia. 



APÊNDICE: HERTZ E CENTS

A longo de todo o texto utilizámos as frequências para definir os sons. 
Todavia, caracterizamos os intervalos pela relação entre as 
frequências dos dois sons que o formam. Dividindo uma frequência 
pela outra, temos uma ideia da distância que separa ambos os sons. 
Enquanto essa distância se mantiver, reconheceremos sempre o 
intervalo. É curioso dar-se conta de que, à medida que os sons se 
fazem mais agudos, a distância em hertz que representa cada 
intervalo, se vai fazendo cada vez maior. O Lá padrão tem uma 
frequência de 440 Hz, e a sua oitava, 880 Hz, e a oitava deste, 1760 
Hz. Os intervalos medidos em hertz vão duplicando a sua largura, 
apesar de nós continuarmos a reconhecer todos esses intervalos 
como oitavas. 

Esta é a razão pela qual se utilizam relações entre frequências, e não frequências absolutas, para identificar os intervalos.
A medida da largura de intervalo que mais se utiliza é o cent. A base 
desta medida é também a divisão da frequência de uma nota pela da 
outra, mas realizam-se uma série de correcções matemáticas para 
conseguir dividir cada semitom temperado em cem partes e que esta 
divisão seja igual sem importar quais são as frequências reais. Cada 
uma dessas partes é denominada cent e a oitava é dividida en 1200 
cents. Um ouvido bem educado pode perceber diferenças à volta de 
três cents, pelo que os cents são unidade suficientemente pequenas.
A fórmula para calcular a distância em cents entre duas notas 
conhecendo a sua frequência é:


(f1 e f2 são as frequências das notas)

Os afinadores electrónicos marcam a diferença entre o padrão e a 
nota do nosso instrumento em cents. Se queremos utilizar um destes aparelhos para afinar uma gaita segundo a entoação natural, a única coisa que temos que fazer, é conhecer a distância que separa as notas naturais, das temperadas. Para estas últimas notas a indicação do afinador é zero, as notas naturais estarão por cima ou abaixo de zero. Na Tabela são indicadas essas distâncias.
Também se indicam as distâncias para um ponteiro em Sol que 
interesse afinar para tocar com um ponteiro em Do, afinado segundo 
a entoação natural. 


TABELAS

Tabela 1: Relações entre os harmónicos das notas que formam 
entre si diversos intervalos em entoação natural (P=perfeita; M=maior; 
m=menor). Tomou-se como base uma nota cuja frequência 
fundamental é 100 Hz. Na primeira coluna indicam-se os nomes dos 
intervalos, na segunda, a relação de frequências entre as notas 
necessária para formar o intervalo de entoação natural na terceira, a 
frequência fundamental da nota mais aguda. A nota grave com a que 
se forma acorde, em todos os casos, é a da primeira fila. São 
indicadas as frequências dos harmónicos de cada nota, até uma 
frequência máxima de 1000 Hz. Aqueles harmónicos que coincidem 
entre as duas notas, são afixadas em Bold, para diferenciá-los dos 
restantes.

Tabela 1

Harmónicos

Intervalo Rel. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Uníssono 1:1 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
8ª Perfeita 2:1 200 400 600 800 1000          
5ª Perfeita 3:2 150 300 450 600 750 900        
4ª Perfeita 4:3 133.3 266.6 400 533.3 666.6 800 933.3      
6ª Maior 5:3 166.6 333.2 500 666.6 833.3 1000        
3ª Maior 5:4 125 250 375 500 625 750 875 900    
3ª menor 6:5 120 240 360 480 600 720 840 960    
2ª Maior 9:8 112.5 225 337.5 450 562.5 675 787.5 900    
6ª menor 8:5 166 332 498 664 830 996        

Tabela 2. Escalas em entoação natural e em entoação temperada. 
São indicadas as frequências de cada nota e o intervalo em cents 
entre ela e a nota base (Dó). As notas mais agudas estão no principio da tabela. Para cada intervalo em entoação natural inclúi-se a relação de frequências em frente à nota base. Na última coluna indica-se a diferença em cents entre a nota em entoação natural e a temperada. (o sinal + indica uma nota mais aguda que a temperada 
correspondente e o sinal -, mais grave). Esta coluna é útil para afinar 
um ponteiro em entoação natural, utilizando um afinador calibrado 
para escalas temperadas. A diferença em cents mantém-se, seja qual for a nota base que utilizemos, ou seja, é válido para ponteiros de qualquer tonalidade.

Tabela 2 Entoação natural Entoação temperada  
Nota Rel. Frq. Frequência Cents Frequência Cents Diferença
2.000 1046.50 1200 1046.50 1200 0
Si 1.875 981.09 1088 987.76 1100 -12
Sib 1.800 941.84 1018 932.32 1000 18
1.667 872.08 884 880.00 900 -16
Láb 1.600 837.20 814 830.61 800 14
Sol 1.500 784.87 702 783.99 700 2
Solb 1.389 726.73 569 739.99 600 -31
1.333 697.66 498 698.45 500 -2
Mi 1.250 654.06 386 659.25 400 -14
Mib 1.200 627.90 316 622.25 300 16
1.111 581.39 182 587.32 200 -18
Réb 1.042 545.05 71 554.36 100 -29
1.000 523.25 0 523.25 0 0
Si 0.925 484.17 -134 493.88 -100 -34
Notas correspondentes a um ponteiro em Sol
Sib 1.111 470.92 -182 466.16 -200 18
1.200 436.04 -316 440.00 -300 -16
Láb 1.250 418.60 -386 415.30 -400 14
Sol 1.333 392.44 -498 391.99 -500 2
Solb 1.446 361.87 -638 369.99 -600 -38
Notas alternativas menos vantajosas (só do ponteiro agudo)
Láb 1.562 817.57 773 783.99 800 -27
1.125 588.65 204 587.32 200 4
Si 0.937 490.54 -112 493.88 -100 -12

A tabela inclui também as notas inferiores que daría um ponteiro ou 
uma requinta em Sol. O último grupo de notas são as notas 
alternativas comentadas no texto, mas consideradas pouco 
vantajosas, (só as do ponteiro em Dó).

Tabela 3. Afinação média de doze ponteiros de diferentes tons e 
artesãos. As notas indicam-se como se fossem de um ponteiro em 
Dó, apesar de serem de tonalidades diferentes. Medimos os 
intervalos em cents, frente à tónica de cada ponteiro, o que nos 
permite compará-los entre si.

Tabela 3 Entoação
Nota Natural Temperada Média
1200 1200 1212
Si 1088 1100 1118
Sib 1018 1000 1014
884 900 909
Láb 814 800 807
Sol 702 700 699
498 500 503
Mi 386 400 386
Mib 316 300 329
182 200 207
0 0 0
Si 134 100 101


Agradecimentos:  Ao contributo de José J. Presedo e aos autores deste artigo, Carlos Real, Jesús Vaamonde e Manuel Fernández, pela permissão de tradução e publicação do seu trabalho.

 


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